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\subsection{GNSS}
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GNSS ist das Akronym für \textbf{G}lobal \textbf{N}avigation \textbf{S}atellite \textbf{S}ystem. Inzwischen gibt es mehrere dieser Systeme, deren Hauptzweck die Positionsbestimmung auf dem gesamten Globus und auch darüber ist. In der Tabelle \ref{tab:sats} sind diese aufgelistet. Die Positionsbestimmung wird unter anderem für die Navigation in allen Bereichen, zur Vermessung und Zeitmessung verwendet.
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\begin{table}[ht]
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\begin{tabular}{|l|l|c|c|}
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\textbf{Name} & \textbf{Betreiber} & \textbf{Verfügbar seit} & \textbf{Anzahl Satelliten} \\
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NAVSTAR GPS & USA & 1995 & 24 \\
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GLONASS & Russische Föderation & 1993 & 24 \\
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Galileo & Europäische Union & 2020 & 28 \\
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BeiDou & China & 2011 & 35 \\
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\end{tabular}
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\caption{Satelliten zur Positionsbestimmung \cite{Klein2023}}
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\label{tab:sats}
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\end{table}
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\subsubsection{Allgemeine Funktionsweise}
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Bauer \cite[S. 67ff]{Bauer2018} beschreibt, dass mindestens die Sicht auf vier Satelliten gegeben sein muss, um die eigene Position bestimmen zu können. Die Verbindung zwischen den Satelliten und dem Empfänger ist einseitig, deshalb stehen dem GNSS-Empfänger nur die Informationen zur Verfügung, die mit Signal übertragen werden können. Eine dieser Informationen ist die zwingend benötigte Position des Satelliten, welche aus den übermittelten Bahndaten errechnet wird.
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Die Position des GNSS-Nutzers wird durch die Berechnung der Signallaufzeiten von dem Satelliten zu dem Empfänger errechnet. Alle Satelliten senden in einem festgelegten und synchronisierten Intervall ihr Signal. Der Empfänger besitzt aufgrund der Systemarchitektur Informationen darüber, wie das Signal erzeugt wird und erzeugt intern ebenfalls ein Signal. Die Zeitdifferenz \(\Delta t_i\) wird für jedes ankommende Signal zu dem erzeugten Signal gemessen. Durch die sehr präzisen Atomuhren in den Satelliten, können diese bis auf einen Fehler im niedrigen Nanosekundenbereich den Intervall einhalten. Allerdings ist dies nicht für den Empfänger möglich, da weder eine ähnlich genaue Uhr zur Verfügung steht noch die vorhandene Uhr mit dem GNSS synchronisiert ist. Deshalb muss von dem gemessenen \(\Delta t_i\) die Uhrzeitdifferenz \(\Delta t\) zwischen dem Empfänger und dem GNSS subtrahiert werden. Für die Berechnung der Strecke wird außerdem die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(v\) des Signals benötigt. Im Vakuum beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit für die genutzten Mikrowellen annähernd Lichtgeschwindigkeit. Da es sich bei der Erdatmosphäre nicht um ein Vakuum handelt und auch nicht um ein anderes konstantes Medium, muss die Ausbreitungsgeschwindigkeit ebenfalls ermittelt werden.
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Die Berechnung einer Position im Raum enthält die drei unbekannten für die X-, Y- und Z-Koordinate in einem kartesischen Koordinatensystem. Hinzu kommt die unbekannte Uhrzeitdifferenz \(\Delta t\). Daher ergibt sich die Mindestanforderung von vier sichtbaren Satelliten, um für jede der unbekannten Variablen eine Gleichung aufstellen zu können. Bauer gibt folgende Gleichung \cite[69]{Bauer2018} zur Ortsbestimmung an:
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\begin{eqnarray}
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(\Delta T_i \cdot v + \Delta t \cdot v)^2 = (X_i - X_E)^2 + (Y_i - Y_E)^2 + (Z_i - Z_E)^2;i = 1,2,3,4
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\end{eqnarray}
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Dabei steht \({Koordinate_E}\) für die unbekannte Empfängerposition und \({Koordinate_i}\) für die bekannte Position des Satelliten. Auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(v\) wird gleich noch eingegangen. Hergeleitet wurde die Formel aus dem räumlichen Pythagoras.
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\subsubsection{Signallaufzeit}
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Grundsätzlich breiten sich elektromagnetische Wellen jeder Frequenz im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit \(c\) aus. Jedes Medium vermindert diese Geschwindigkeit. Die Änderung der Signallaufzeit wird auch Refraktion genannt. Die Geschwindigkeitsabnahme hängt von dem Medium ab. Im Kontext von GNSS handelt es sich bei den Medien um die Schichten der Erdatmosphäre. Von Bauer \cite[S. 116ff]{Bauer2018} wird erläutert, dass die Lichtgeschwindigkeit \(c\) mit dem Brechungsindex \(n\) des jeweiligen Mediums multipliziert werden muss, um die passende Geschwindigkeit bei den Berechnungen zu nutzen. Er definiert den Brechungsindex wie folgt:
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\begin{eqnarray}
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n = \frac{c}{v} = \frac{[Geschwindigkeit \: des \: Signals \: im \: Vakuum]}{[Geschwindigkeit \: des \: Signals \: im \: Medium]}
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\end{eqnarray}
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Für die Signallaufzeit wird zunächst der ionisierte Teil der Erdatmosphäre betrachtet. Die Ionosphäre beginnt ungefähr bei \(50km\) und endet bei \(1000km\) über der Erdoberfläche. Das Signal wird durch die freien Elektronen beeinflusst. Die Anzahl der freien Elektronen wird mit der Elektronendichte \(N_e\) angegeben, diese variiert nach Tages- und Jahreszeit, sowie nach verschieden Schichten in der Ionosphäre. In dem Kapitel \glqq{}Ionosphärische Refraktion\grqq{} \cite[S. 123f]{Bauer2018} zeigt Bauer die Herleitung für folgende Formel:
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\begin{eqnarray}
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n_{PH} = 1 - \frac{40,3 \cdot N_e}{f^2}
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\label{eq:brechungsindexIonosphäre}
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\end{eqnarray}
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Diese Gleichung zeigt, dass der Brechungsindex für die Phasengeschwindigkeit von der Elektronendichte \(N_e\) und der Frequenz \(f\) des Senders bestimmt wird. Aufgrund der unstetigen Elektronendichte in der Ionosphäre gibt es etwa das \textbf{Klobuchar-Modell} \cite[128]{Bauer2018}, welches stetig an den Tag und die Sonnenaktivität angepasst und von den Satelliten an die Empfänger publiziert wird. Mit diesem Modell können \(50\%\) der ionosphärischen Laufzeitfehler korrigiert werden.
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Eine aufwendigere und genauere Alternative bietet die Zweifrequenzkorrektur, aufgrund der Abhängigkeit des Brechungsindexes von der Frequenz kann durch die Messung von zwei unterschiedlichen Frequenzen, im Fall von GNSS meist im L1 und L5 Band, auf die Refraktion in der Ionosphäre geschlossen werden.
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\par
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Sobald die Signale die Ionosphäre durchquert haben, treffen diese erst auf die Stratosphäre und anschließend auf die Troposphäre, in welcher sich typischerweise der Empfänger befindet. In der Strato- und Troposphäre wird das Signal hauptsächlich durch die Zusammensetzung der Gase, dem Luftdruck und der Temperatur in diesen Schichten beeinflusst. Diese Zusammensetzung ist allerdings über den Planeten verteilt relativ homogen, weshalb dieser Fehler gut kalkuliert werden kann. In Troposphäre stellt die Luftfeuchtigkeit ein zusätzliches Hindernis für den Signallaufweg dar. Dieser Fehler ist orts- und zeitabhängig und deshalb schwerer zu modellieren. Es gibt mehrere Modelle zur Berechnung des aktuell wirkenden Einflusses, hier zu nennen wären das Modell von Hopfield und das Modell von Saastamoinen, wie von Bauer \cite[131]{Bauer2018} beschrieben.
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\subsubsection{Andere Fehlerquellen}
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In der folgenden Liste werden mögliche Fehlerquellen dargestellt, welche eine Positionsbestimmung behindern können:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Mehrwegeausbreitung} beschreibt den Umstand, dass die Antenne das Signal des Satelliten auf mindestens zwei Wegen empfängt. Der erste Weg ist der vorgesehene direkte vom Satelliten zu dem Empfänger. Die anderen Wege stammen von Reflexionen des Signals. Die unerwünschten Reflexionen können meist dadurch erkannt werden, dass die Dämpfung des Signals deutlich höher als die des direkt empfangenen Signals ist.
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\item \textbf{Signalbeugung} beschreibt den Empfang eines Signals von einem Satelliten, welcher durch ein Hindernis abgeschattet ist. Das ist möglich, weil ein Signal, welches zum Beispiel auf eine Gebäudekante trifft, abgelenkt (gebeugt) wird. Wenn ein Satellit von dem Empfänger schon beobachtet wird, kann dieser Fehler erkannt werden, weil die Signaldämpfung unvorhergesehen zunimmt.
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\item \textbf{Aktive Störungen} können bei GNSS mit wenig Aufwand herbeigeführt werden. Bauer beschreibt \cite[169]{Bauer2018}, dass die Signalstärke von GNSS bei lediglich \(-160dBW\) liegt, was umgerechnet \(1 \cdot 10^{-16}W\) entspricht. Deshalb ist es möglich, mit geringen Sendeleistungen von wenigen \(W\) bereits Bereiche mit mehreren \(10km\) zu stören.
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\end{itemize}
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\subsubsection{Aufbau}
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Bauer beschreibt in dem Kapitel "Die Systemkomponenten" \cite[S. 201ff]{Bauer2018} von GNSS. Diese werden in drei Kategorien aufgeteilt:
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\setlist{noitemsep}
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\begin{itemize}
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\item Weltraumsegment,
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\item Bodensegment,
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\item Nutzersegment.
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\end{itemize}
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\setlist{}
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Das Weltraumsegment besteht aus den GNSS-Satelliten. Ein Empfänger an einem beliebigen Ort auf Erde muss immer 4 Satelliten sehen können, um eine Ortung durchführen zu können. Dementsprechend wurden die Satellitenumlaufbahnen von den verschiedenen Systembetreibern gewählt. Im Falle von GPS sind es 24 Satelliten, welche auf 6 Bahnebenen aufgeteilt sind. Ein Satellit wird über Sonnenpaddel mit Strom versorgt. In dem Satelliten befindet sich unter anderem die hochgenaue Atomuhr. An der Hülle befindet sich eine Sendevorrichtung für das GNSS-Signal und eine Kommunikationsvorrichtung, um mit dem Bodensegment kommunizieren zu können. Viele Systeme sind in den Satelliten redundant ausgelegt, um die Lebenserwartung zu erhöhen, diese liegt bei moderne Satelliten bei 15 Jahren. Die Satelliten der unterschiedlichen Generationen und Systeme sehen unterschiedlich aus, als Beispiel siehe Abbildung \ref{fig:satellite}
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\begin{figure}[ht]
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\includegraphics[width=\linewidth]{img/satellite.jpg}
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\caption{Modell eines Satelliten des GNSS Galileo \protect\footnote[1]{Bild eines Galileo Satellit from Science Museum Collections made by Paragon Creative, lizenziert unter [CC BY 4.0] \url{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode}, abgerufen von \url{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galileo_satellite_model.jpg}}}
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\label{fig:satellite}
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\end{figure}
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Das Bodensegment hat die Aufgabe, die Satelliten mit dem aktuellen Informationsstand zu versorgen, welche wiederrum über die Satelliten an die Nutzer weitergegeben werden. Für diese Aufgabe werden mehrere Stationen genutzt:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Überwachungsstationen} messen die Daten der GNSS-Satelliten und übermitteln diese an die Zentralstation.
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\item In der \textbf{Zentralstation} werden die Daten verarbeitet. Aus diesen Daten werden die aktuellen Bahndaten mit einer Genauigkeit von 1 bis 2 m der einzelnen Satelliten bestimmt. Die Ergebnisse werden der Sendestation übergeben.
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\item Die \textbf{Sendestationen} übermitteln die Ergebnisse an die Satelliten.
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\end{itemize}
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Das Nutzersegment wird durch die GNSS-Empfänger gebildet.
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